結論から書くと、アップルケアサポート（0120-993-993）に電話して下さい。
電話代と相談料は無料ですので！
ここからは自己責任になりますが、具体的な対処法としてAppleに教えてもらったターミナルのコマンドを書いておきます。
ちなみにOSのバージョンはMac OS 10.11.1 El Capitan
Contents
1. トラブルの内容
下の画像のようにTimeMachineバックアップの中のデータが入っているフォルダに「赤色の立ち入り禁止マーク」がついて、アクセスできなくなります。これではせっかくのバックアップデータも意味をなしません。
２．対処法
１．ターミナルの起動
ターミナルは「アプリケーション 」フォルダーの中の「ユーティリティ」フォルダに入っています。
２. ターミナルにコマンドを入力
sudo diskutil disableownership タイムマシンのHDドライブ名
と入力してリターンキーを押します。
続いて、ログインパスワードを入力せよと言ってくるので入力します。この時、入力しても文字は不可視化されているので画面には何も入力されてないように見えますが、入力が終わったらリターンキーを押します。
これで一時的に立ち入り禁止マークが消えてデータにアクセスできます。
さいごに
Appleが言うには、このようなケースはTime Machineに使っているHDがトラブルを抱えている可能性があるため応急処置的な対処法になりそうです。
ぼくの場合は、データの救出が終わったら一回初期化することを勧められました。
